方程式の応用問題(図形との混合問題)
方程式の問題は、特に高校入試では図形との混合問題としてよく出題されることが多いので、この分野は平面図形の性質を含めて基本的なことからおさえていくことが大切です。
問
以下の長方形ABDCは、縦4cm、横15cmであるが、点Pは辺ADの上を毎秒5cmの速さで往復している一方、点Qは辺BCの上を毎秒3cmの速さで往復している。
このとき、はじめてABQPが長方形になったときの長方形ABQPの面積を求めよ。
答え
最初に、上記のように問題文が示す図を実際に作図してイメージをつかみ、次に、その図に、問題文から読み取れるような情報をすべて書き込んでいこう。
次にわかるのは、AD(15cm)の間を点Pは毎秒5cmで動くということは片道3秒で点Pが移動しているということと、BC(15cm)の間を点Qは毎秒3cmで動くということは片道5秒で点Qが移動しているということです。
その場合、点Pのほうが早く点Qより折り返すということ、そして、初めてABQPが長方形になったときは、AP=BQとなっていて、そうなる時は、点Pが折り返したあと、点Qが折り返すことなく、かつ、点Pより右側に行かない状態ですれ違うときということになるわけです。
そうしたとき、点Pが折り返す時間というのは、15÷5=3で、スタートから3秒のときとなります。
一方、点Qが折り返す時間は、15÷3=5で、スタートから5秒のときとなります。
従って、考えておくべき時間は3秒以後5秒以前の間ということになります。
次に、点Pが折り返してDからAに戻るときですが、このときの時間をtとしたとき、
点Aからの距離は毎秒−5t(cm)となります。このとき、点DがAの場所に完璧に戻ったときに点Dは往復30cm動いているわけで、それより−5t分の距離を計算に入れる必要があるので、点DがAの場所に戻りつつある時間帯のとき、
AP=(30−5t)となります。
次に、BQの長さについては、点Qが点Bに到着する前の話を前堤としているので、時間をtとすると、そのまま、
BQ=3tとなります。
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